[ad_1]
Giải phương trình vi phân trực tiếp bằng mạng nơ-ron (có mã)
Trong vật lý, toán học, kinh tế, kỹ thuật và nhiều lĩnh vực khác, phương trình vi phân mô tả một hàm số dưới dạng đạo hàm của các biến. Nói một cách đơn giản, khi tính đến tốc độ thay đổi của một biến theo các biến khác, bạn có thể sẽ tìm thấy một phương trình vi phân. Nhiều ví dụ mô tả các mối quan hệ này. Lời giải của phương trình vi phân thường được rút ra thông qua phương pháp phân tích hoặc số.
Mặc dù việc tìm ra giải pháp phân tích có thể là một công việc tẻ nhạt hoặc trong một số trường hợp là một nhiệm vụ bất khả thi, nhưng mạng nơ-ron thông tin vật lý (PINN) tạo ra giải pháp trực tiếp từ phương trình vi phân, bỏ qua quá trình phân tích. Cách tiếp cận sáng tạo này để giải các phương trình vi phân là một bước phát triển quan trọng trong lĩnh vực này.
MỘT bài báo trước của tác giả đã sử dụng mã PINN để tìm nghiệm của phương trình vi phân mô tả một mạch điện tử đơn giản. Bài viết này khám phá nhiệm vụ khó khăn hơn là tìm ra giải pháp khi điều khiển mạch bằng chức năng cưỡng bức. Hãy xem xét mạch điện tử mắc nối tiếp sau đây bao gồm một điện trở Rtụ điện Ccuộn cảm Lvà nguồn điện áp hình sin V sin(ωt). Hành vi của dòng chảy hiện tại, Nó)trong mạch này được mô tả bởi Phương trình 1, phương trình vi phân không đồng nhất bậc 2 với hàm cưỡng bức, Vω/L cos(ωt).
Giải pháp phân tích
Giải tích phương trình 1 yêu cầu giải phương trình cho ba trường hợp tùy thuộc vào mối quan hệ giữa λ Và ω₀. Như được thấy bên dưới, mỗi kết quả đều tạo ra một công thức phức tạp và độc đáo cho Nó). Trong các thử nghiệm được trình bày sau trong Kết quả, những giải pháp này sẽ được so sánh với kết quả do PINN tạo ra. PINN sẽ đưa ra nghiệm trực tiếp từ phương trình vi phân mà không cần xem xét các trường hợp này.
(Có giải pháp giải tích chi tiết của tác giả sử dụng kỹ thuật biến đổi Laplace đây.)
Trường hợp 1: Giảm chấn dưới mức (λ/2 < ω₀)
Giảm xóc đề cập đến tốc độ chuyển đổi mạch từ trạng thái bắt đầu sang trạng thái cân bằng. Phản ứng dưới mức giảm dần cố gắng chuyển đổi nhanh chóng nhưng thường xoay vòng qua quá mức và quá mức trước khi đạt đến trạng thái cân bằng.
Trường hợp 2: Giảm chấn quá mức (λ/2 >ω₀)
Phản ứng quá tắt dần chuyển từ trạng thái bắt đầu chuyển sang trạng thái cân bằng mà không trải qua các chu kỳ vượt quá và quá thấp.
Trường hợp 3: Giảm chấn nghiêm trọng (λ/2 = ω₀)
Phản ứng giảm chấn nghiêm trọng nằm giữa giảm chấn quá mức và giảm chấn quá mức, mang lại phản ứng nhanh nhất từ khi bắt đầu chuyển sang trạng thái cân bằng.
giải pháp PINN
Mã PyTorch có sẵn đây.
Mạng nơ-ron thường được huấn luyện với các cặp đầu vào và đầu ra mong muốn. Các đầu vào được áp dụng cho mạng thần kinh và lan truyền ngược sẽ điều chỉnh trọng số và độ lệch của mạng để giảm thiểu hàm mục tiêu. Hàm mục tiêu biểu thị sai số đầu ra của mạng nơ-ron so với đầu ra mong muốn.
Ngược lại, hàm mục tiêu của PINN yêu cầu ba thành phần: thành phần dư (vật thể ᵣₑₛ) và hai thành phần điều kiện ban đầu (obj ᵢₙᵢₜ₁ Và vật thể ᵢₙᵢₜ₂). Chúng được kết hợp để tạo ra hàm mục tiêu:
Dư
Thành phần dư là nơi am hiểu vật lý vào trong chơi. Thành phần này, kết hợp các đạo hàm của đầu ra, ràng buộc mạng phải tuân theo phương trình vi phân xác định. Phần dư, Công thức 6, được hình thành bằng cách sắp xếp lại Công thức 1.
Trong quá trình đào tạo, giá trị của t được đưa vào đầu vào của mạng lưới thần kinh, dẫn đến phần dư. Lan truyền ngược sau đó làm giảm thành phần dư của mục tiêu xuống giá trị tối thiểu gần với 0 trên tất cả các điểm đào tạo. Thành phần dư được cho bởi:
Đạo hàm thứ nhất và thứ hai, di/dt Và d²i/dt²theo yêu cầu của Phương trình 6, được cung cấp bởi chức năng phân biệt tự động trong nền tảng mạng thần kinh PyTorch và TensorFlow.
Điều kiện ban đầu 1
Trong ví dụ về mạch này, điều kiện ban đầu đầu tiên yêu cầu đầu ra của PINN, tôi
[ad_2]
Source link