[ad_1]
KDE trong không gian chuyển đổi
TThủ thuật chuyển đổi ánh xạ dữ liệu bị giới hạn vào không gian không bị giới hạn, nơi KDE thuần túy có thể được áp dụng một cách an toàn. Điều này dẫn đến việc sử dụng một hàm hạt nhân khác nhau cho mỗi mẫu đầu vào.
Tuy nhiên, như đã thấy trong bài viết trước Ước tính mật độ hạt nhân bị giới hạn, khi mật độ khác không tại ranh giới và không có xu hướng tiến tới vô cực, thường dẫn đến các hiện tượng không mong muốn.
Sự biến đổi
Bdựa trên cách tiếp cận của chúng tôi từ phần trước, chúng tôi sẽ lại sử dụng tính đối xứng trung tâm và chọn một phép biến đổi f chỉ thay đổi bán kính. Các biến được chuyển đổi sẽ được chỉ ra bằng dấu ngã ~.
Tuy nhiên, không giống như trường hợp phản xạ, trong đó chúng ta bảo toàn đĩa đơn vị và chỉ sử dụng phép biến đổi để thêm điểm mới, ở đây chúng ta trực tiếp biến đổi và sử dụng các điểm từ bên trong đĩa đơn vị.
Do đó, các điều kiện biên giới khác nhau và thay vào đó buộc phải giữ nguyên gốc tọa độ và giãn đĩa ra vô cực.
Biến đổi mật độ
TKhi áp dụng phép biến đổi T cho biến ngẫu nhiên đa chiều U, mật độ kết quả được tìm thấy bằng cách chia cho giá trị tuyệt đối của định thức của ma trận Jacobian của T.
Ví dụ, phép biến đổi cực cung cấp cho chúng ta mật độ sau.
Dựa trên hai thuộc tính trước đó, chúng ta có thể suy ra mối quan hệ giữa mật độ trước và sau khi biến đổi. Điều này sẽ cho phép chúng ta khôi phục mật độ thực từ mật độ ước tính trên các điểm đã biến đổi.
Chọn phép biến đổi nào? Logarit, Inverse?
Tcó rất nhiều hàm bắt đầu từ 0 và tăng đến vô cực khi chúng tiến tới 1. Không có câu trả lời nào phù hợp với tất cả mọi người.
Hình bên dưới giới thiệu các hàm ứng viên tiềm năng được tạo bằng cách sử dụng các phép biến đổi logarit và nghịch đảo để đưa vào một điểm kỳ dị tại r=-1 Và r=1.
Dựa trên phương trình mô tả mật độ biến đổi, chúng tôi muốn tìm một phép biến đổi ánh xạ phân phối đồng đều thành một dạng có thể ước tính dễ dàng bằng KDE thuần túy. Nếu chúng ta có một phân phối đồng đều p(x,y)mật độ trong không gian biến đổi do đó tỷ lệ thuận với hàm g dưới.
Các ứng cử viên logarit và nghịch đảo đưa ra các kết quả sau g chức năng.
Cả hai đều tương đương khi r tiến tới 0 và chỉ hội tụ đến giá trị có ý nghĩa khi α bằng một.
Hình bên dưới minh họa ba trường hợp, với mỗi cột tương ứng với phép biến đổi logarit có giá trị alpha là 0,5, 1 và 2.
Hàng đầu tiên hiển thị không gian đã biến đổi, so sánh mật độ dọc theo đường chéo được ước tính bởi KDE trên các điểm đã biến đổi (màu xanh) với cấu hình mật độ dự kiến tương ứng với phân phối đồng đều trong không gian gốc (màu đỏ). Hàng thứ hai hiển thị các đường cong tương tự này, nhưng được ánh xạ trở lại không gian gốc.
Hãy nhớ rằng quá trình chuyển đổi và KDE vẫn được thực hiện ở dạng 2D trên đĩa. Các đường cong một chiều được hiển thị bên dưới được trích xuất từ kết quả 2D.
[ad_2]
Source link